一元二次方程对称轴公式 | 二次函数对称轴公式怎么来的

对称轴，数学名词，是指使几何图形成轴对称或旋转对称的直线。一元二次方程对称轴的公式：y=ax2+bx+c(az0)。只含有一个未知数(一元)，并且未知数项的最高次数是2(二次)的整式方程叫做一元二次方程。一元二次方程经过整理都可化成一般形式ax2+bx+c=0(az0)。

一元二次函数是高考数学的核心，同时也是难点，出题人主要从两个方面进行考核：带参数的一元二次函数和不带参数的一元二次函数。

而且高考习题中很多时候会考核学生换元的思想，大部分题型是换元后转变为二次函数进行求解。

函数中值域是学生们比较头疼的事情，本次课程我们将二次函数分为八大类，结合具体的实例为大家进行求值域方法的讲解，总结了一套通用的方法，有了技巧学习才会快，才能快速成为尖子生哦。

课程概述：本次课程总共八道经典例题，八种类型的求值域方法汇总，学习时间大概是40分钟，请合理安排自己的时间哦。

本次课程我们主要讲解不含参数的一元二次函数值域的求解方法，教你轻松拿下一元二次函数的值域问题。

温馨提示：x的平方记为：x^2。

本次课程我们所讲解的二次函数是形如：f（x）=ax^2+bx+c(a不为0）的二次函数。时间关系，此次课程我们只讲解不含参数的二次函数怎么去求值域，含参数的二次函数我们下次课程再进行详细讲解。

八大类型的二次函数求值域，配着八大经典例题，希望学生们能够认真学习和吸收哦，不带参数的二次函数入门掌握了，才能学习带参数的二次函数哦，一步一个脚印才能掌握核心内容！

值域的概念

值域的几何意义就是图像中y值的取值范围。计算含义就是表达式的取值范围。大家一定要清晰值域指的是什么，才能明白我们讲解的技巧哦。

不含参数的一元二次函数值域求解技巧

不含参数的一元二次值域分为8个类型：

在定义域R上的值域分为两类求解技巧

值域为R的二次函数分为两个小类型：分别为

总体解决方法：看函数开口方向，最大值或者最小值为f（-b/2a），代入进行求值域即可。

类型1：开口向上的二次函数

开口向上的二次函数，函数的值域为f（x）大于等于（4ac-b^2)/4a；

类型2：开口向下的二次函数。

开口向下的二次函数，定义域为R，值域为f（x）小于等于（4ac-b^2)/4a。

技巧说明：严格按照上面给出的公式进行求解即可，可以记住模板进行数值的代入求解的。

例题1：求f（x）=x^2+2x+4的值域

解析：代入上面给出的公式即可，函数图像开口向上，函数的值域为f（x）大于等于f（-b/2a）=f（-1）=3，函数的值域为f（x）大于等于3；

例题2：求f（x）=-x^2+2x+4的值域

解析：函数的值域为f（x）小于等于f（1），即函数的值域为f（x）小于等于f（1）=5。

在给定区间上求值域分为六类求解技巧

在这个类型中具体可以分为6个小类型。分别为：

类型3：开口向上的二次函数给定区间包括对称轴，

如图：可以发现函数的对称轴处是函数的最小值，距离对称轴越远的点的纵坐标为函数的最大值。通过计算给定区间距离对称轴的距离求函数的值域即可。

类型4：开口向上的二次函数给定区间在对称轴的右侧；

如图，利用函数的单调性（在对称轴的左侧函数单调递增）进行求解即可。即如果给定的区间为（x7，x8），则函数的值域为（f（x7），f（x8））。

类型5：开口向上的二次函数给定区间在对称轴的左侧。

如上图利用函数的单调性（在对称轴的左侧函数单调递减）进行求解即可。即如果给定的区间为（x5，x6），则函数的值域为（f（x6），f（x5））。

类型6：开口向下的二次函数给定区间在对称轴的右侧。

直接利用函数的单调性（在对称轴的右侧函数单调递减）进行求解即可。即如果给定的区间为（x3，x4），则函数的值域为（f（x4），f（x3））。

类型7：开口向下的二次函数给定区间在对称轴的左侧。

直接利用函数的单调性（在对称轴的左侧函数单调递增）进行求解即可。即如果给定的区间为（x1，x2），则函数的值域为（f（x1），f（x2））。

类型8：开口向下的二次函数给定区间包括对称轴。

如图：可以发现函数的对称轴处是函数的最大值，距离对称轴越远的点的纵坐标为函数的最小值。通过计算给定区间距离对称轴的距离求函数的值域即可。

例题3：求f（x）=2x^2+2在【4，6】上的值域；

解析：f（x）的对称轴为x=0，给定区间在对称轴的右侧，利用单调性求得函数的值域为【f（4），f（6）】即【34，74】。

例题4：求f（x）=4x^2+8x在【-2，0】上的值域；

解析：f（x）的对称轴为x=-1，给定区间包括对称轴，-2和0到对称轴的距离相等（f（-1）=f（0）），因此函数的值域为【f（-1），f（0）】即【-4，0】；

例题5：求f（x）=x^2+2x在【-4，-3】上的值域；

解析：f（x）对称轴为x=-1，给定区间在对称轴的左侧，函数单调递减，函数的值域为【f（-3），f（-4）】，即【3，8】；

例题6：求f（x）=-x^2+8x+1在【-1，0】上的值域；

解析：函数的对称轴为x=4，给定区间在对称轴的左侧，单调递增，函数的值域为【f（-1），f（0）】即【-8，1】。

例题7：求f（x）=-x^2+4x在【1，6】上的值域；

解析：函数的对称轴为x=2，给定区间包括对称轴，6到2的距离大于1到2的距离，因此函数的值域为【f（6），f（2）】即【-12，4】。

例题8：求f（x）=-x^2-2x+1在【1，3】上的值域；

解析：函数的对称轴为x=-1，给定区间在对称轴的右侧，因此函数的值域为【f（3），f（1）】即函数的值域为【-14，-2】。

方法汇总

四个步骤教你轻松计算二次函数的值域：

1 首先找到二次函数的对称轴；

2 根据区间和对称轴的关系进行8大类型的二次函数值域求解模块的匹配；

3 根据找到的模块进行值域的求解；

4 最后计算出相关的结果即可；

公式函数区间知识类型单调性

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