向心力的6个公式 | 向心力的分析

坐过山车或者荡秋千的时候，感觉整个身体都快飞出去了。我们正在做圆周运动，在那种情况下，很深刻的体会到向心力的可怕之处，感觉心脏都要跳出来了。这节课就来一起来学习什么是向心力？向心力如何表达？以及向心力在生活中有着怎样的应用？向心力的定义

坐过山车或者荡秋千的时候，感觉整个身体都快飞出去了。我们正在做圆周运动，在那种情况下，很深刻的体会到向心力的可怕之处，感觉心脏都要跳出来了。

这节课就来一起来学习什么是向心力？向心力如何表达？以及向心力在生活中有着怎样的应用？

向心力的定义。顾名思义，“向心力”F向：做圆周运动的物体，受到的指向圆心的力。指向圆心简称“向心”。（向日葵）

一个圆周运动的轨迹，在其上标出4等分点A,B,C,D.曲线运动的速度沿着轨迹的切线方向，所以这4个点的方向是水平向右，竖直向下，水平向左，竖直向上的。下面请4位同学结合定义（指向圆心的力）在黑板上标出这4个点受到的向心力的方向。通过观察，我们发现这4个力都是指向圆心的——“不忘初心牢记使命”。向心力就像邻居家wifi一样非常善变，除此之外还有什么共同点吗？（此处应有垂足）哎！它们与速度都垂直。这就是向心力的第一个特征：方向始终与速度垂直，即θ=90°（waiter端盘子不做功）；更深层次地，向心力还有没有其他特征呢？在本学期的第一节课曾介绍过，当力与速度垂直时，只能改变速度的什么？方向。不改变速度的大小。而夹角小于90°，速度变快；夹角大于90°，速度变慢。向心力的第二个特征：只改变速度的方向，不影响速度的大小。

向心力究竟从何而来？是你给的还是从石头里蹦出来的？肯定有个出处。所以要探究向心力的来源。举3个常见的高考模型。第一个，在数学中用平行四边形表示平面，这是一个平面，平面上有一个钉子，与钉子相连有一根绳套，绳子末端系一个小球，“弹一弹”小球，使其在水平面内做圆周运动，请问：小球受几个力？分别是什么？3个力，重力（受力分析顺序：一重二弹三摩擦），支持力，还有什么？由于小球有向外飞的趋势，绳子会绷紧从而产生一个对小球的拉力。重力支持力二力平衡，抵消为0.而拉力指向圆心，就是向心力，即T=F向；

第二个例子，“圆锥摆模型”。这是一个天花板，天花板下方用绳子挂着一个小球，这样悠着小球，摆动的小球在平面内画出了一个圆，这个圆和绳是不是恰好组成了一个圆锥，叫“圆锥摆”。同样的问题：小球受几个力？分别是谁？受两个力：重力和沿绳的拉力，还有没有其他的力？没了。那这两个力都不指向圆心，谁充当向心力呢？对了，它们的合力在对角线上，是不是指向圆心？

下一个例子，跟老式的挂钟有关，大家见过没有？就是那个一个小时“蹬”响一下的挂钟。这种挂钟底下是不是一个摆？叫做“单摆”。我们模拟一下：天花板上的旋点，用绳悬挂着一个小球在平面内做摆动，它摆出来的轨迹是圆周运动的一部分，是不是一个扇形？小球受几个力？分别是谁？还是2个力，重力和拉力。拉力指向圆心，所以拉力是不是就是向心力？不完全是！把重力正交分解，分解为沿绳的分力G1和沿切线的分力G2。T和G1都是沿着半径的，二者的合力充当了单摆的向心力，即：T-G1=F向.

以上3个例子，我们发现：向心力的来源是什么？任意一个力可以充当向心力，两个力的合力可以充当向心力，一个力的分力和另外一个力的合力也可以充当向心力。所以向心力的来源很广泛，并没有什么神奇之处，在受力分析的时候需不需要把它另写出来？不需要。比方说已经分析了T，还需不需要再另外分析向心力了？不需要了，向心力就是一种按“效果”命名的力，不要再画蛇添足了。比方说：我们班的班长是***，这句话没问题。但是能不能说我们班有***和班长，就多余了；送物理课代表和任锦程一套物理卷子，任锦程得做2套物理卷子。再举个例子；能说我想吃火锅和热的东西吗？不行，因为火锅就是热的东西。这样说就冗余了。

我们知道向心力是由普通的力充当的，它的表达式是怎样的？

请一位同学上黑板默写向心加速度的6个表达式：

向心加速度如何产生？受到了一个力，而这个力就是所谓的“向心力”.根据牛顿二定律，F向=man,向心加速度的角标带n，所以向心力的角标也带n,送他们一套情侣限定皮肤。于是就得到了向心力的表达式：

F向 =

向心力的表达式是根据理论推导出来的。怎么能够保证它的正确性呢？“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。”所以通过实验验证向心力表达式的正确性（锥摆法）。一个锥摆，已知摆线的长度为l，摆线与竖直方向的夹角为θ，小球在圆平面内的旋转半径为r.

两条线索——从“静力学”和“运动学”两个角度去分析。

“静力学”：受力分析，小球受重力和绳的拉力，二者的合力提供向心力。观察发现：F合=mgtanθ，小球在不停息的旋转，容易用量角器测量角θ吗？所以想办法把动态的角度定格为静态的几何特征。观察得，

所以:

“运动学”：想验证哪个表达式？其实验证哪个都是一样的，因为这6个公式可以互推。所以只要证明其中一个正确，就说明其他5个也都是正确的。那就选F向=m

论证。只要证明这个式子与上个式子相等，说明推导的向心力的表达式就是正确的；反之亦然。对比以上两式，发现：m,r是共有的，所以把它们约去，得：只要测出悬绳的长度l，小球的旋转半径r以及小球转一圈所用的周期T就可以验证表达式的正确与否了。考试问：要验证表达式最少需要测量几个物理量？分别是谁？答案是3个。分别是：l,r,T.

接下来看一个探究实验：再一次探究向心力和什么因素有关。向心力演示仪——听声音就像是手摇式拖拉机。

到现在为止，我们学的圆周运动非常特殊——“匀速圆周运动”；生活中更普遍存在的其实并不是匀速的圆周运动。比方说汽车转弯时，这个位置是30迈，下一个位置变成20迈，再一个位置变成10迈，速度大小是不是在不断变化？那这种线速度的大小在不断发生改变的圆周运动就叫做“变速圆周运动”。变速圆周运动最重要的特征是所受合外力并不指向圆心，怎么处理呢？四个字——“正交分解”：把F合分解为指向圆心的向心力Fn，和与之垂直的切向力Ft.

根据牛二，Fn会产生对应的向心加速度an;Ft会产生对应的切向加速度at.由于向心加速度与速度方向垂直，所以它可以改变速度的方向；由于切向加速度与速度都在沿切线的方向，可以改变速度的大小。我们就看到这两个加速度职能的不同了，它们各司其职。没有切向加速度，变速圆周运动就会退化为匀速圆周运动；没有向心加速度，变速圆周运动就会退化为匀变速直线运动。

更一般的，这样一条曲线，称之为“一般的曲线运动”，它的确很“一般”：轨迹既不是直线又不是圆。对于这种曲线运动，我们的解决方案是什么？还是四个字——“化繁为简”（极限与分割）：用放大镜仔细看，每段弧线都可以看做圆的一部分。所以在这些地方把圆补充出来，用处理变速圆周运动的方法处理一般的曲线运动。

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